18 AEIT • numero 7/8 LA TEORIA DELLA PROBABILITÀ CI FA VINCERE AL SUPERENALOTTO? Oltre dieci milioni di italiani1 praticano il SuperEnalotto2 che regala ogni tanto vincite multimilionarie e prevede molteplici possibilità di vincere comunque qualcosa. Ciononostante, si tratta di un gioco statisticamente svantaggioso per il giocatore. Il calcolo matematico completo è molto complesso; per farci una idea mettiamoci nel caso più fortunato mai verificatosi. La maggiore vincita da quando esiste il SuperEnalotto è stata di 371.133.424,51 euro (il 16 febbraio 2023)3; la somma è stata ripartita fra 90 giocatori che hanno acquistato quote di un sistema. Ipotizziamo invece, per metterci nella condizione più vantaggiosa, che tutto il premio fosse stato vinto da un singolo giocatore superfortunato, che avesse effettuato la giocata minima possibile, di un solo euro. Ricordando che la probabilità di indovinare tutti i sei numeri è di un caso su oltre 622 milioni4; la formula della convenienza (2) ci dice che E = 371.133.424/622.614.630 - 1 x (1 - 1/622.614.630) = - 0,40391 (≈ - 40%) L’espressione restituisce un valore negativo, pertanto questo gioco è svantaggioso, anche nelle ipotesi estremamente favorevoli fatte per il calcolo rapido. (Le somme vinte sono poi soggette a tassazione, ma questo è un altro discorso, e non ne teniamo conto qui). D’altra parte, per fare con certezza un sei, dovrei giocare oltre 622 milioni di combinazioni, spendendo oltre 622 milioni di euro; ma se il jackpot fosse inferiore a 622 milioni (come avviene normalmente - al momento in cui viene scritto questo articolo il jackpot e di circa 50 milioni) ci rimetterei un mucchio di soldi. Inoltre dovrei sperare di essere l’unico giocatore a indovinare i sei numeri, altrimenti il montepremi andrebbe ripartito con altri. Si potrebbe obiettare che un giocatore abile, capace di sfruttare le moltissime opzioni disponibili per effettuare i pronostici, e/o disposto a spendere cifre importanti con pronostici multipli, statisticamente potrebbe guadagnare anziché perdere soldi. Come noto, esistono innumerevoli personaggi, canali TV e YouTube, giornali e riviste specializzate, siti web, che millantano di conoscere metodi sicuri per massimizzare le vincite a qualunque gioco d’azzardo. In effetti nel SuperEnalotto aumentare la probabilità di indovinare i numeri estratti è semplice: basta giocare più combinazioni. Giocando, per esempio, due sestine la probabilità raddoppia: purtroppo, due sestine costano anche il doppio. In questo box, usiamo in modo rigoroso la teoria della probabilità per dare una risposta (parziale) alla domanda: esistono metodi che, statisticamente, massimizzano la vincita economica rapportata alla somma spesa per fare la giocata? Per esempio, conviene davvero giocare più sestine? E se si decidesse di giocare due sestine, come conviene scegliere i numeri? Si potrebbe pensare che scegliere i numeri della seconda sestina tutti diversi da quelli della prima risulti vantaggioso rispetto a giocare due sestine identiche (perché scommetterei su dodici numeri anziché su sei, aumentando quindi la probabilità di indovinare la sestina vincente). Ebbene la matematica ci dimostra che, dal punto di vista del rendimento economico, statisticamente non cambia proprio nulla. Una analisi completa del SuperEnalotto esula dallo spazio e dagli scopi di questo box, ma, per dare evidenza della affermazione appena fatta, abbiamo studiato una versione semplificata del SuperEnalotto, che chiameremo MiniSuperEnalotto. Ecco le regole (che sono un sottoinsieme coerente di quelle del SuperEnalotto): • In una estrazione vengono estratti a caso tre numeri diversi da un insieme di trenta numeri • Il giocatore effettua un pronostico, cercando di indovinare i tre numeri che saranno estratti • Un pronostico (giocata) consiste di una o più combinazioni, ciascuna costruita con tre numeri diversi fra loro; non ci sono vincoli su come ideare le diverse combinazioni • Il giocatore ottiene una vincita se indovina due dei tre numeri estratti (ambo) o tutti e tre i numeri estratti (terno) • Ciascuna combinazione può permettere la vincita di un ambo oppure di un terno • Giocando, per esempio, due combinazioni si possono ottenere, se si è fortunati, due ambi o due terni • La spesa per giocare una combinazione è assunta come unità economica (per es., un euro, ma questo è irrilevante) • La vincita ottenuta per ciascun ambo realizzato è di 11,65 unità economiche, mentre per ciascun terno realizzato è di 310,67 unità economiche5. Nel caso esemplificativo oggetto dello studio, una giocata può comprendere da una a quattro combinazioni. La prima combinazione è sempre effettuata scegliendo a caso tre diversi numeri. Per le altre combinazioni (se presenti) si possono adottare tre possibili strategie per la scelta dei numeri: 1. Strategia casuale: la scelta dei numeri di tutte le combinazioni è fatta in modo del tutto casuale, in modo indipendente dai numeri scelti per le altre 2. Strategia esclusiva: per la seconda combinazione si scelgono numeri a caso, ma con il vincolo che siano diversi da quelli della prima combinazione; allo stesso modo la terza combinazione (se presente) dovrà avere numeri diversi da quelli delle precedenti due, ecc. 3. Strategia sistema (applicabile solo al caso di quattro combinazioni): si scelgono a caso quattro numeri diversi, e si costruiscono le quattro combinazioni (di tre numeri ciascuna) combinando a-tre-a-tre in tutti i quattro modi possibili i quattro numeri A parità di numero di combinazioni giocate (e quindi di somma spesa), è facile verificare che le probabilità di indovinare uno oppure due o più ambi (o terni) effettivamente sono diverse con le diverse strategie; tuttavia, il numero medio degli ambi (come pure il numero medio dei terni) sono invece costanti, indipendenti dalla strategia adottata. Non solo: l’analisi mostra anche che, facendo un numero maggiore di combinazioni per una giocata (e quindi aumentando la spesa), la vincita economica media effettivamente cresce (come ci si aspetterebbe) ma il rapporto fra vincita economica media e spesa effettuata rimane costante. La conclusione è chiara: se si decide di giocare, statistica-
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